Какой письменностью пользуются народы Кавказа?

Тут все зависит от конкретной нации.

Например, все народы Северного Кавказа на своих языках ныне пишут буквами кириллицы. Но зачастую их алфавиты весьма отличаются по звучанию от русского. Поэтому зная русский алфавит, попробуйте-ка прочитать хотя б эту черкесскую театральную афишу на адыгэбзэ (адыгском языке).

Интересно, что вплоть до покорения империей северокавказские народы пользовались арабицей. Поэтому, уже при Российской империи, их попробовали перевести на кириллицу. Например, барон Услар в XIX веке стал первым автором кириллического чеченского алфавита.

В первые годы советской власти большевики попытались перевести народы Северного Кавказа на латиницу - в ознаменование будущей победы мировой революции, когда все на земле будут писать одним алфавитом - латинским. Но в 30-е годы идея мирового коммунизма ушла и северокавказцы снова начали писать алфавитами на основе кириллицы.

В начале 1990-х попытку перевести чеченский народ на латиницу сделал Джохар Дудаев. Но затея не удалась, латинский шрифт в Ичкерии уже при Аслане Масхадове не прижился. А потом его и вовсе отменил в Чечне Ахмат Кадыров. Ныне латиницу используют в показательных целях только сторонники ЧРИ в Европе.

***

Двумя собственными алфавитами ныне пользуются грузины. А всего у грузин имеются с древних веков четыре алфавита - мхедрули, хуцури, мтаврули и асомтаврули.

Обычный мхедрули закрепился среди грузинского общества около X века нашей эры и предназначен для гражданского письма. Им написаны светские книги, вывески, афиши и школьные сочинения.

Второй ныне используемый грузинский алфавит, хуцури - чисто церковный, появился примерно около V века нашей эры. На нем чаще всего можно увидеть надписи на грузинских православных иконах.

Грузинский алфавит мхедрули - один из самых легких в мире. Нет разделения на большие и малые буквы, каждая буква точно соответствует одному звуку грузинской речи. Так что пишущему на грузинском языке крайне сложно сделать грамматические ошибки.

Одно время грузинский алфавит мхедрули даже пытались приспособить для других языков - абхазского, осетинского и (частично некоторые буквы) для чеченского. Но по политическим мотивам не сложилось. Ныне мхедрули используют еще родственные грузинам картвельские народы - мегрелы и сваны (но они что-то на своем пишут крайне редко).

***

Армяне с V века нашей эры используют (почти без изменений) свое письмо. Его создатель известен точно - монах-просветитель Месроп Маштоц, которому на практике помогал первый переводчик Библии на армянский язык Саак Партев. Армянское письмо посложнее грузинского - есть большие и малые буквы, кое-какие хитрости чтения.

***

Азербайджанцы - интересный случай. Этот народ использует одновременно три алфавита. Все зависит от страны проживания.

Азербайджанцы в Азербайджане по турецкому образцу с начала 90-х годов пишут латиницей. Азербайджанцы в Дагестане сохранили кириллицу, которой писали и в "большом" Азербайджане при СССР. А вот иранские азербайджанцы используют арабицу - письменность, которую сто лет назад использовали все азербайджанцы планеты.

Интересно, что иранские азербайджанцы под влиянием северных братьев потихоньку осваивают латиницу, пишут ею вывески магазинов и учреждений - чтоб многочисленные приезжие из Баку, Шемахи и Ленкорани понимали, что там написано.